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<アウトプット勉強>語りかける中学数学−その003−

【語りかける中学数学、エントリー一覧】
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語りかける中学数学

語りかける中学数学

このエントリーは、数学の学習の過程をブログに書く事で記憶の定着を図ってみようという実験的エントリーです。



P095 中学1年 第3話 文字と式


文字の計算
項とは?
2a+3a-4b+5b-6の式で、
2a, 3a, -4b, 5b, -6
の事を「項」という。


(2010/07/08 14:05)追記
文字のついていない数字だけのを「定数項」という。


P097 練習問題


P098 分配法則


P102 文字の分数計算


(2010/07/08 18:32)追記
そうだ、以前YouTubeにアップした映像の編集を勉強してみよう。


(2010/07/10 14:11)追記
そういえば、-\frac{1}{2}などとした時、そのマイナスは分子に掛かる。つまり、\frac{-1}{2}となる。なぜ分母に掛からないのか数学では分母にマイナスを付けたままにしないで、前に出すように(-\frac{1}{2}のように)言われる。


調べたら、-\frac{1}{2}\frac{-1}{2}\frac{1}{-2}は同じ値だった。なぜなら分母と分子に同じ数字(-1)を掛けるとマイナスが分子に移動するだけだから。



でも、通分する時は分母にマイナスを持って行っても計算出来ないから、分子に持って行くのかな?
この辺よくわからない。


(2010/07/17 17:28)追記
よく解らないと書いたが、通分する場合、分母にマイナスがあっても良いんだ。ただし符号の入れ替わりに注意。


(2010/07/18 16:51)追記
ただし、最終的に分母にはマイナスを置いたままにしないのが慣例なので、プラスに変える。又、「分母にマイナスを置いたままにしない」事から途中の計算でも分母にマイナスを置いての計算は通常はやらない。


P104 卒業試験


P107 卒業試験2


(2010/07/19 16:52)追記
P109 卒業試験3


P110 Ⅵ 文字と式<応用編>文字で数値を表す
問題(1)から(4)
P113
問題(1)から(6)


(2010/07/20 3:21)追記
P113
問題(2)と(6)でつっかかる。
(2)『 x[km]のキョリをy分間で移動した時、時速は? 』
と言う問題。
時速は分速を60倍した物なので、まずは分速を出す。
x[km]÷y分間で1分当たりで進むキョリ・・・つまり分速が出るので、この式は\frac{x}{y}kmである。(分速の単位はmの決まりだがここでは最終的にはkmで求めるのでそのままにする)
求めるのは「時速」なので分速\frac{x}{y}[km/分]の60倍だから、\frac{x}{y}\times60=\frac{60x}{y}[km/時]・・・答え


頭の中でごちゃごちゃしたけど、慌てず騒がずまずは、問題文に出ている与えられた数値の中から「分速」を求める事に集中し、あとで答えの「時速」にたどり着く。


(2010/07/23 0:48)追記
P115
(5)、(6)平均点とか忘れたしw
heikinten=\frac{zenin no goukeitensuu}{zenin no ninzuu}

tex記法って、漢字は使えないんだね。
タブレット使って書こう↓


(2010/07/25 10:23)追記
P116 数値の代入方法


(速度の所はまだ自身がないなぁ)

P119 中学1年第4話 一次方程式


(2010/07/26 10:25)追記
P123 問題(1)−(4)


移項(防備録P124)


(2010/07/27 10:54)追記
P129 1次方程式とは?


P129 問題
なんか途中の計算が頭の中で固まっていない。


(2010/07/28 10:48)追記
P131 分数を含んだ方程式
応用問題 つぎの方程式が解けますか・・・?
(1)−(3)
昔からの癖になってしまってるんだろうなぁ・・。通分して計算してる。


ここは、本書の解説の通り「分母を払って」から計算した方がやりやすそうだ。


P135 小数を含んだ方程式
0.3x + 1.2 = -2.4
小数点を消す為に両辺10倍する
3x + 12 = -24
3x = -24 -12
= -36
x = -12

こたえ. x = -12

P137 Ⅷ 方程式の応用


(2010/07/29 12:54)追記
P137 問題を解く上での基本事項


(1)連続する数(これはあまり活用場所が思いつかない、見れば解るけど)
(2)数の表し方(これは知ってる)
(3)割り算における「割られる数」、「割る数」および「商」と「余り」の関係(これなー、RubyででたらめなISBNコードを作った時に各桁の数字をこれを使って求めたと思う)


●参照●<アウトプット勉強>みるみるRubyがわかる本−その3−(〜P69) - そんなに大事な記録ですか?

あー、これこれ。この時、人生で初めて「商」と「あまり」が役に立ったと思った瞬間。ほんと勉強しとかないと何がヒントになるかわかんないよ

(4)条件よりなるべく少ない文字で”ある”数の表し方


全部読めば解るけども、全部その活用法が想像付かない。中学校の時も方程式の前置きにこんなのやった記憶もないなぁ。


(2010/07/30 11:07)追記
P139 「連続する3つの数があり、それぞれ加えると9になる」とかいった問題が多いらしい。しかも「連続する3つ」は「5つ」など、必ず奇数で有る事が多いという。


こういうの避けてた問題だわw。


連続する3つの数なら、「x , x+1 , x+2」と置きやすいけど、後々の計算の為に「x-1 , x , x+1」と置いた方が良いですよ。という本書の解説。うん、確かに楽チンだ。以前はなんで問題集の回答でいきなり「x-1 , x , x+1と置く」とあって、なぜ「x , x+1 , x+2」と置かないんだろう??って思っていた。


あと、こういうのはプログラミング中の計算の時も連続する数と出たら「x-1 , x , x+1」と置く方がいいと思う。「計算が簡単になる」と言う事は、「処理速度が速くなる」と同義だから。というかプログラミング本では、この様な計算の登場するプログラムでは「x-1 , x , x+1」と置く事を前提で話が進む気がする。うん、知って置いて良かった。(これだけ感想を書いたら、しっかり記憶に定着したろう・・w)


よし、次。


連続する3つの偶数…2 , 4 , 6とか、8 , 10 , 12とか。式で表すと、2x1 , 2x2 , 2x3と、2x4 , 2x5 , 2x6だ。
つまりどれも連続した数を2倍している。


式で書くと2(n-1) , 2(n) , 2(n+1)、だ。括弧内が「連続した数」にちゃんとなっている。


(2010/07/31 12:20)追記
今度は連続した3つの奇数を考える。
3 , 5, 7
とあったとして真ん中の5に、-2を加えて3、+2を加えて7、になる


真ん中の数字5を、(5=4+1→偶数+1だから)2n+1とすると、-2を加えて2n-1、+2を加えて2n+3、3つ並べると
2n-1 , 2n+1 , 2n+3


又は、数字5を表す時、偶数-1も奇数になるので(つまり6-1=5)、偶数=2nに-1して、2n-1を中心の奇数と置くと、前後-2,+2して
2n-3 , 2n-1 , 2n+1

も同様に連続した3つの奇数になる。どちらでも好きな方を使える。


(2010/08/01 12:38)追記
P141 数の表し方
例えば、23は、2x10 + 3x1、と表される。aやbを使うなら、10a + bと表される。そして、例えば「23(二十三)」は「2 x 3」ではない。「2x10 + 3x1」である。


P142 割り算とその結果との関係
例えば、1234(千二百三十四)の各桁(1,2,3,4)をプログラミングでそれぞれ例えば、a=1 , b=2 , c=3 , d=4の様に、取り出す必要が有る時、どうやって1234から、1と2と3と4を取り出すか?例えばバーコードのチェックデジットの計算をする時には、各桁をとり出して足し合わせる必要が有る。(12340でチェックデジットが0の場合は一定の計算式によって各桁を計算し結果の数字とチェックデジットの数字が一致するかどうかの処理をする。チェックデジットとは、バーコードリーダ等で読み取った数値が正しいかチェックする数字の事)


(1)1234 ÷ 1000 = 1あまり234
(2)234 ÷ 100 = 2あまり34
(3)34 ÷ 10 = 3あまり4
(4)4 ÷ 1 = 4あまり0


つまり、(1)から(4)の商をそれぞれ変数(a,b,c,d)に代入してやれば、各桁の数字を取り出す事が出来る。プログラミング言語Rubyでは、あまりを求める記号は「%」で求められる。例えば、「a = 3 % 2」とすると変数aに余りの1が代入される。


このように、小学校の頃役に立たないと思っていた、商と余りの求め方はこんな所で役に立っている。やはり数学は一通りやって置いた方が便利な事は間違いない。


(2010/08/02 10:40)追記
分厚い本なのでページ押さえて両手がふさがるという時には、これが便利です。語りかける中学数学もばっちりこれで両手が空きます。本が起き上がった状態になるので見やすい。私は入力しながら勉強するのでよけいに便利。


EDISON ほんたった黒(ハードケース入り)

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P144 問題1〜7


(2010/08/04 10:46)追記
P145 問題2

ある数に5を加えて2倍したモノは、もとの数を6倍して2を引いた数に等しい。このある数を求めてみよう。


この問題で、「ある数」と「もとの数」の意味がつかめなかった。要するに「もとの数」に「5を加えて2倍した」処理をした「ある数」とも読み替えられるから、「ある数」=「もとの数」である。


って事で良いのかな?又は、「ある数」に何らかの処理をした数を「処理数」と呼ぶとすると「処理数」になる前の数=「もとの数」という事かな?うんつかめてきた気がする。「処理前の数」だから「もとの数」だな。

  • 処理前の数=もとの数
  • 問題の最初に登場した数(最初の数)=もとの数


P145 <注意点>「ある数に5を加えて2倍」という日本語を「x+5\times2」とする人が多いそうだ。注意。でも、僕にとっては「ある数」=「もとの数」の方が迷った。


しかし、逆に「x+5\times2」を日本語で表現する場合はどう書くんだろう?「x+5\times2」にはかけ算「5\times2」を優先する決まりがあるので、「5を2倍してある数を加える」と書くのかな?ああ、本書P145下から7行目に書いてあった。「ある数に5の2倍を加える」だな。英文ならどう書くんだろ。(それは良いか)


(2010/08/05 11:01)追記
P146 問題3
1の位をnと置くと、10の位が2の2桁の数は、


2\times10+n


2\times10+n+9=n\times10+2
29+n=10n+2
n-10n=2-29
9n=27
n=3


よって、もとの数は
答え.23


P147 問題4


P148 問題5


(2010/08/06 11:03)追記
P149 問題5つづき
こういう問題苦手だわ。

A町からB町を往復し、行きは毎時4km、帰りは毎時6kmで時間は1時間30分掛かりました。A町とB町の距離(km)を求めよう。


(時速)=(距離)÷(時間)
(距離)=(時速)×(時間)
(時間)=(距離)÷(時速)


を念頭に、A町とB町の距離をxと置いて式を作ると、

(行きに掛かった時間)+(帰りに掛かった時間)=1時間30分=\frac{2}{2}時間+\frac{30}{60}=\frac{1}{2}時間=\frac{3}{2}時間


(行きに掛かった時間)=(距離x)÷(時速4km)=\frac{x}{4}
(帰りに掛かった時間)=(距離x)÷(時速6km)=\frac{x}{6}


よって、
\frac{x}{4}\frac{x}{6}\frac{3}{2}時間


両辺を12倍して、
3x2x=18
5x=18
x\frac{18}{5}=3.6


よって、A町からB町の距離は、答え3.6km


しかしこれは、方程式が使えるから解けるけど、小学生に解るように方程式を使わないで説明しろといわれたら出来ないなぁ。
特に、「両辺を12倍」なんて問題文の何処にも出ていない数字(12)が登場するので絶対説明不能だし。


ググってみると「小学生に方程式を使わないで教えたい」という希望はたくさんあるようで、「小学生に方程式を使って解かせるのに問題はあるか?」などの討論?もありました。


どうなんだろうなぁ。方程式は、「何処と何処が等しいか?」それを見極めて式に表現できればあとは移項をしたり分母を消したりすれば、自動的に解が出てくるけど、方程式を使わない場合はそうはいかない。ある見方?が出来ないと問題が解けない。


うーん、討論は知らないや。プログラミングに役立てるという目的の為に僕はやっているのだから、解法はいくつも有った方が良い。(コンピュータ上で処理速度の速い解法を選択出来るから)ので、方程式を使わない解法も出来るだけ勉強したいと思う。


でも、方程式を使わない解法のほうが難しいんだよなぁ。小学校の頃文章題が解けないのは方程式を使わないと言うのが原因だったと思う。マジで。


だから、むしろ小学校の文章問題を方程式を使わない解法で解く事のほうが頭の鍛錬には良いかもしれないなぁ。実は!!


(2010/08/07 11:21)追記
こういう問題があった

ある学校の生徒が、長椅子にすわりました。
1脚5人ずつすわると、33人がすわれません。
7人ずつすわると、ちょうど1脚あまりました。
長椅子は何脚ありますか?
( )を使って、1つの式で答えなさい。

これは、http://okwave.jp/qa/q3993223.htmlに、有った問題。これに方程式を使うと…


長いすをxと置く
5x + 33 = 7x - 7
5x - 7x = -7 -33
2x = 40
x = 20


よって、答え.長いすの数は20脚


だが、これを方程式を使わないで解くと…


生徒の数が、7人多い場合を想定する。
1脚5人ずつ座ると40人が座れません。
1脚7人ずつ座ると長いすの数はぴったり。


すると1脚5人ずつ座らせた後、残った40人を2人ずつ全ての席に座らせるとぴったり収まるはず。つまり40人÷2人=20席


つまり、
(33+7)÷(7-5)=20

答え.20脚


しかし、生徒数を7人多く考えて長いすに座ったらぴったりにして余りを無くすという考え方を思いつかないと先へは進めん。難しい。


ここで、この問題は終わり。本書に戻って
P150 問題6

 1個120円のリンゴ、1個80円のミカンを全部で26個買い2880円支払いました。それぞれ何個買いましたか?

連立方程式で解いてしまったけど、本書では、方程式で解いている。(ところで、連立方程式でない方程式ってなんて呼ぶのだろう)


リンゴをxと置くとミカンは(26−x)である。あかん、この発想が出てこない。単発の問題で出されたら出るのに、別の事柄が加わるともうダメ。これは小学校の頃、文章題が全く解けなかった心境が蘇る。おそろしや。


(2010/08/09 12:21)追記
P151 問題7


そのまま代入しない。同類項がまとまってない時はまとめてから計算が鉄則。


P152 Ⅸ 方程式の応用(百分率克服)

(1)15%の食塩水200[g]に含まれる食塩の量は?


200×0.15=30 答え.30g

  • (2)500人の生徒のうち60%が女子です。男子の人数は何人ですか?


500×0.6=300 答え.男子300人


(2010/08/10 10:48)追記
P154
15%の食塩水200[g]を、「200[g]を100等分して15個が食塩で後は全部水」と言い換える方法。なるほど、200[g]を100等分すれば、2[g]、これが15個あるから2[g]×15個=30[g]が答えになるわけか。


P155
問題2 これも「100等分したうちの何個」で解ける。


P156
箱詰め法