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<アウトプット勉強>語りかける中学数学−その000−


昨日、ついに「語りかける中学数学 高橋一雄著」を買った。


とても分厚い本で、中学で学ぶ数学全体が独学出来るようになっている。



「2010年3月19日 第21刷発行」

版を重ねたベストセラー本

2005年の初版からなんと21もの版を重ねているベストセラー。それだけ実績のある「語りかける中学数学」でアウトプット勉強を始めよう。パソコン関係の本は初版か多くて2刷位までだったので誤植も完全につぶされていそうな21刷という版数には安心感がある。


もともとは、Rubyの勉強をする中で、2進数について掘り下げていたら数の概念まで結局行ってしまい、この「語りかける中学数学」に出会ったが最後、魅力的な本文内容に取り憑かれて「面白そう。読みたい」となったのです。
(後日追記:最初はこんなふうに歓迎ムードで書いていたのですが読み進めるうちに著者のクセ(というか間違い)のある数学の説明に納得行かなくなり今はもう読んでいません。以下なぜ読まなくなったか?その過程を記録として残しています。)


是非中学数学をもう一度プレイバックしたい!と言う人は読んでみて欲しい。アマゾンで試し読みが出来る。


語りかける中学数学

語りかける中学数学

語りかける中学数学 問題集

語りかける中学数学 問題集

語りかける高校数学 数1編

語りかける高校数学 数1編


※以下2冊は今は古本のみ(語りかける中学数学の前身?)

かずおの語りかける数学 (中学1年)

かずおの語りかける数学 (中学1年)

かずおの語りかける数学 (中学2年)

かずおの語りかける数学 (中学2年)


<誤植は何処で確認すれば良いか>
2010/06/08現在、本屋で見るのは「第21版」が最新でした。オークションやアマゾンの中古本は版が古いのがあるので注意。版が古いと誤植が直っていない可能性があります。21版になって正誤表が著者高橋一雄氏のホームページ(http://www.katasu.com/)からも削除されているので誤植は全て無くなったと思います。


●出版社のページ
http://www.beret.co.jp/books/detail/?book_id=211
●著者「高橋一雄」氏のページ
http://www.katasu.com/
http://www.aguse.jp/?m=w&url=www.katasu.com

はじめに

P018
数学をやる上で大切なポイント。

  • 四則計算(+、−、×、÷)
  • 分数の意味(\frac{x}{y}
  • 分数計算(\frac{1}{2}+\frac{2}{2}の計算出来る?)
  • 自然数・小数を分数に直せるか(5=\frac{5}{1}0.5=\frac{1}{2}
  • 小数の計算ができるか(0.1+0.01=0.11

P019

質問1「かけ算はどんなときにつかいますか?」
僕の答え「クラスの机の数を数える時、1列何脚の机が何列あるか数えてかけ算を使って全体の机の数を割り出す」(机って1脚2脚って椅子と同じ数え方でいいんですね!)
とか?「一袋に20個のアメ玉が入っていて、それが100袋あったらかけ算を使って全体のアメ玉の数がわかるよ」とか?
質問2「割り算はどんなときにつかいますか?」
僕の答え「10個のリンゴを5人で等しく分ける時、1人当たり何個の配れば良いか?」とか?

(2010/06/09 13:01)追記

P020

常に具体例を考え「さて、これを誰かに教える場合、自分ならばどう教えるか?」と自分の頭で考えながら読み進む。

腑に落ちないP20の解説

ひっかかるのが、P20の②(例)100の中に3の倍数は何個ありますか?の問題。ググると「倍数とは…整数Aの整数倍した整数Bがあるとき、整数Bの事を整数Aの倍数と呼ぶ」つまり整数3の1倍した整数3があるとき、3の事を3の倍数と呼ぶので、この例題は(例)100の中に3は何個ありますか?と同じ。つまり100÷3=33余り1、となる。か、わかった。


でも、この問題文、正しくは②(例)100の中に3の倍数は最大何個ありますか?じゃないかな?ちがうのかな?6だって9だって「3の倍数」だよね。6の場合は100÷6=16余り4、で16個がこたえだし、9の場合は、11個が答えになるよね、この問題文だと。違うのかな?


ここは、問題文自体を問題にしているわけでなくて、「割り算の説明の例」としてこの例題が「たまたま」出てきただけだからそれ以上の追求は良しとしよう。

後日「人力検索はてな」で質問した

どうしても本書の解説が引っかかって腑に落ちない。モヤモヤするので「人力検索はてな」に上の疑問を質問してみた……。目から鱗が落ちるとはこの事です。ちゃんと疑問が解消しました。セカンドオピニオンは大切です。http://q.hatena.ne.jp/1276059504


÷(割り算)というと「ある塊を想像し、それが何等分されるか?」みたいな考えしか今までなかったけど、「ある長さ」の物に対してその分割点が何個あるか?という計算も可能だという!T-pon氏の回答でモヤモヤが晴れました。

「カタマリ」という一言が原因だった

昨日「人力検索はてな」で質問した内容はこれです。(詳しくはhttp://q.hatena.ne.jp/1276059504参照)「100の中に3の倍数は何個ありますか?」


私は倍数という物を全く忘れていたので「3の倍数の種類が何種類?」と聞かれているのを(例えば)「100gのカタマリの中に3の倍数である3gのカタマリが何個?」「(100gのカタマリの中に)3の倍数である6gのカタマリが何個?」……(以下同様に)……「3の倍数である9」「3の倍数である12」…のそれぞれ個々の3の倍数の重さのカタマリが100という数量(カタマリ)の中に何個入っているか?つまり100個のボールの中に「3の倍数であるx個のボールのまとまり(塊)」が「何まとまり」あるか?を考えて「あれれ?」となったのでした。
「3の倍数にあたる”数”は1から100の中に33個あります。――100という数量(=カタマリ)の中には、例えば3ならば33個、6ならば16個、9ならば11個、…つまり答えが一つで無くなります……。
なんでこんな勘違いをしたんでしょう。著者の解説中にある「塊(カタマリ)」という言葉に惑わされたのです。
数学の自習書でこんなモヤモヤする解説はあり得ないでしょう……。

このモヤモヤする解説について考察

まず問題文自体が不完全で”1から100の整数の中に”とすべきところを適当に”100の中に”と省略されていたり、その上解説文に”100のカタマリ”と言う不要な誘導が目につくせいで勘違いを誘発してしまう……。

この問題の本来の意味は「100cmの長さのケーキがありました。幅3cmごとに切った時の切れ目」の数の「アツマリ(集まり)」のこと。幅3cmのケーキ33個と幅1cmの余分なケーキの個数の問題ではない。カタマリという表現だと「ケーキのカタマリ」という間違った理解を産んでしまう。(あくまでもケーキ本体でなく分け目の数の問題で、切れ目のことを塊と呼ぶ人はいない)

著者は倍数の本来の意味を知らない?

本書の著者は倍数の問題についてT-ponさんのように、「長さ」と「量」についてイメージしながら解説を書いたのだろうか?という疑問が残る。なぜ「長さ」も「量」も同じ「カタマリ」と言ってしまうのか?そもそも「倍数」に長さや位置関係のイメージがあることを知らないのでは?
こんな適当な解説、ちゃんとやりたい大人にはダメですわ……。
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(※その該当部分P20)
この場合は②「ある数の集合の中に、別の意味を持つ数の集合の要素が何個入っているかを知りたいとき。」と”集まり”という意味にすれば良い。なぜカタマリと入れたのか?(そもそも割り算の便利さを示すだけの例題に高度な②の解説は不要、①だけで良い)
著者は残念ながら解説や例題の不適切さに気づいていない。

人力検索はてなで回答をもらった「T-pon」さんの回答全文

しかし、この問題を解くにあたっては「100÷3=33余り1」は、『量』の分割ではなく、『長さ』をたどっていくイメージで考えなければなりません。つまり、『100mの道の片側から歩き始めて、3mごとにしるしをつけて行くと、33個目のしるしをつけた地点で、終点まであと1mである』というイメージで考えなければなりません。つまり、3の倍数は、3つごとにあらわれるので、3,6,9…とたどっていくと、数字のならびを3つごとに追っていくことになります。このとき終点の1m手前で33個目のしるし(すなわち99)をつけることになる、という意味なのです。

同じ質問で回答をもらった「SALINGER」さんの答え全文

SALINGER 2010/06/09 15:22:07
100を量として捉えると、最高で33個だし最低で1個になる。
一意には決まらないから量ではなく、(1から)100までの数字でってことになるってことね。


本書P020の(1)「あるものを等分にする〜」(1)の例題「24本の鉛筆を8人に分けたい」というのは明らかに(カタマリ…量的な)問題です。こっちは納得できる。しかし例題(2)はカタマリに適した設問ではないので塊の例題として持ってくるのは的確ではないでしょう。例題(2)は消すか別の分かりやすい例題を持ってくるのが正解だと考えます。

人力検索はてなのT-ponさんも「『長さ』(1次元ベクトルの絶対値としての量)ととらえるかです。『長さ』としてとらえるということは、その分割が単なる量の分配ではなく、分割片の位置関係も考慮することになります。」とあります。というかT-ponさんの解説があって初めてこの問題の真の意味が理解できました。


本書分厚くてこの先が長い。なんせ読み初めてすぐ適当な説明でお茶を濁されてますから不安が残ります……。でも疑問が生まれた時がチャンスですね。

(追記)「カタマリ」の理解ではプログラムが組めなくなる?

この倍数の問題はカタマリという言葉に迷わされず、1次元的な「長さ」という考えを持てば、プログラムの繰り返し処理(For 〜Next)で考える事も容易に出来ます。


から100までの数の中に3の倍数がいくつあるか調べるプログラムです。


これをカタマリの問題にしてしまうと問題の意味が不明でプログラムが組めません。下にstepと有るように「倍数が何個か数える」というのはある距離を、ホップ、ステップ、ジャンプして(位置を)移動することと等しいんです。この設問はプログラムが示すように明らかに量的な問題ではありません。


        Dim Count As Integer = 0
        Dim i As Integer = 0

        For i = 0 To 100 Step 3

            Debug.Print(H_i.ToString())

'もしiがゼロなら、(ゼロは数えないので)Countをゼロにせよ。
            If i = 0 Then
                Count = 0

            Else
                Count = Count + 1

            End If

        Next

        Label_表示_回数.Text = Count.ToString()

    End Sub

VisualBasicを勉強中なので書いてみました。
iを3ステップごとに100までたどり、ループした回数(3ステップごとにしるしを付けた回数)は別の変数Countで数えます。


0を入れたのは「ゼロ」が倍数に含まれると考える場合は、答えが34個に成るからです。(位置的にはゼロは起点になりますから倍数として数える場合がある。ここでもカタスウの問題文が「100の中に…」ではゼロを含めるか含めないかが不明の為、問題文が不完全だとわかります)


上記のプログラムはゼロから3ステップごとにループした回数を数えるので、0,3,6,9,・・・99とループして行きますので、「ゼロ」も倍数に入れる結果が「34」がCountの値として出力されます。


なので、問題文が「1から100まで」の数字だとすると「ゼロ」は含まないので、Countの値から1を引く必要があります。
数学の問題はプログラムで解くことが出来ます。そうすると問題の本当の意味まで理解できるのでとても面白いと思うのです。
問題と解答を暗記するだけの”暗記受験”ばかりをやってきた先生がそれを教えるとき、再び暗記方法を教えるような「型の数学」を教えてしまえば、本当の数学の面白さを見失うのでは無いでしょうか。
教える側の人は、時にはその単元の数学が、実際の社会でどのように使われて居るのかリサーチして視野を広げる必要もあると思います。


●次のエントリー
http://d.hatena.ne.jp/yonta24/20100610/1276147508